湖南省长沙市2019-2020学年高一上学期第二次阶段性检测数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

经过点，斜率为1的直线的方程为（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

函数的零点所在的区间是　　

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知函数，，则（    ）

A.10 B.-10 C. D.

5. 难度：简单

已知函数，且，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数的图象是（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知函数，若，，，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知直线经过两直线和的交点，且垂直于，则直线的方程为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

已知，为不同的直线，，为不重合的平面，则下列说法中正确的个数是（    ）

①若，，则.

②若，则，相交.

③若，，则.

④若，，，则.

A.0 B.1 C.2 D.3

11. 难度：简单

已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.若三棱锥的体积为16，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

______.

14. 难度：简单

一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______.

15. 难度：中等

若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______.

16. 难度：中等

若，，给出如下结论：

①为奇函数且在上单调递增；

②对任意实数，都有；

③存在实数，使；

④对任意实数，都有.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知对数函数过点.

（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；

（2）若，求的取值范围.

18. 难度：简单

如图，在三棱柱中，且，点，分别为和的中点，与相交于点.

（1）证明：平面平面；

（2）求异面直线和所成角的大小.

19. 难度：简单

已知直线：.

（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；

（2）若直线与轴、轴分别相交于，两点，点为线段的中点，求直线的方程.

20. 难度：中等

如图所示，在四棱锥中，，平面，，，.

（1）求证：；

（2）当三棱锥的体积等于时，求二面角的平面角的正切值.

21. 难度：简单

某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.

（1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式；

（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？

22. 难度：中等

设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是函数的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点.

（1）已知，若对于任意实数，函数恒有两个不相等的不动点，求实数的取值范围；

（2）已知，若在区间上存在不动点，求实数的取值范围.