2020届天津市高三年级上学期第三次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A.  B.

C.  D.

2. 难度：简单

设，则“”是“”的（    ）

A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

设，，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于

A. B.

C. D.1

5. 难度：简单

已知圆：和直线：；若直线与圆相交于，两点，的面积为2，则值为（    ）

A.-1或3 B.1或5 C.-1或-5 D.2或6

6. 难度：中等

函数（， ， ）的部分图象如图， （    ）

A. B. C. D.-1

7. 难度：简单

已知双曲线（）的焦距为4，其与抛物线交于 两点，为坐标原点，若为正三角形，则的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：困难

已知函数，函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

10. 难度：简单

已知复数，则的虚部为______.

11. 难度：中等

展开式中的常数项为______.

12. 难度：简单

在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.

13. 难度：中等

在中，，，，点为边的中点，，则______；______.

14. 难度：困难

“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.

15. 难度：中等

已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，的面积为，求边的长.

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，为的中点，点在侧棱上.

（1）求证：；.

（2）若是的中点，求二面角的余弦值；

（3）若，当平面时，求的值.

18. 难度：困难

已知数列和满足，，对都有，成立.

（1）证明：是等比数列，是等差数列；

（2）求和的通项公式；

（3），，求证：.

19. 难度：困难

如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点.

（1）当直线过椭圆的右焦点时，求的面积；

（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.

20. 难度：困难

已知函数，其中函数，.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最大值；

（3）当时，对于给定的正整数，问：函数是否有零点？请说明理由.（参考数据，，，）