上海市闸北区2016届高三上学期期末数学试卷（12月）

一、填空题

1. 难度：简单

的展开式的常数项是_____________．

2. 难度：中等

函数的单调性为______；奇偶性为______．

3. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是     

4. 难度：简单

在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；

5. 难度：中等

如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部测得水坝对面的山顶的仰角为，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部测得，若坝面与水平面所成的锐角为，则山高为______米；（结果四舍五入取整）

6. 难度：中等

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是        .

7. 难度：中等

已知等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和取最大值的正整数的值是______．

8. 难度：中等

过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是_________．

9. 难度：中等

如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方

形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：

①；② 对任意，都有；

③ 对任意，且，都有；

其中所有正确结论的序号是_______；

二、单选题

10. 难度：简单

“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11. 难度：简单

已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出下列四个命题：

①若，垂直于同一平面，则与平行；

②若，平行于同一平面，则与平行；

③若，不平行，则在内不存在与平行的直线；

④若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（　　）

A.4 B.3 C.2 D.1

12. 难度：中等

已知向量和是互相垂直的单位向量，向量满足，，其中，设为和的夹角，则（    ）

A.随着的增大而增大 B.随着的增大而减小

C.随着的增大，先增大后减小 D.随着的增大，先减小后增大

三、解答题

13. 难度：简单

如图所示，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，，将角的终边绕原点逆时针方向旋转交单位圆于点B，过B作轴于C.

（1）若点A纵坐标为，求点的横坐标；

（2）求面积S的最大值.

14. 难度：中等

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

15. 难度：中等

如图，已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点；

（1）若，求点、点的坐标；

（2）设动点满足，其轨迹为曲线，求曲线的方程；

（3）请指出曲线的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；

（4）判断曲线是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．

16. 难度：困难

已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：，，求的通项公式；

（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；