2020届百师联盟高三上学期期中理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（    ）

A. B.

C. D.2

2. 难度：简单

已知全集，集合，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在Excel表格中，RAND（    ）表示内平均分布的随机数，设RAND（    ），且在数轴上对应的点到原点的距离为，则的概率是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：

（1）取一个实心的等边三角形（图1）；

（2）沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；

（3）挖去中间的那一个小三角形（图2）；

（4）对其余三个小三角形重复（1）（2）（3）（4）（图3）.

制作出来的图形如图4，图5，….

若图3（阴影部分）的面积为1，则图5（阴影部分）的面积为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

正方形ABCD和矩形BEFC组成图1，G是EF的中点，BC=2BE.将矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，连接AG，DF，得到图2，则（    ）

图1.    图2.

A.，且直线是相交直线

B.，且直线是相交直线

C.，且直线是异面直线

D.，且直线是异面直线

6. 难度：中等

执行下边的程序框图，如果输入的，则输出的值等于（    ）

A.5 B.7 C.9 D.11

7. 难度：中等

在长方体中，若，则（    ）

A.0 B. C.3 D.6

8. 难度：中等

如图是某棱锥的三视图，其主视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边的长为1，则该棱锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

抛物线的焦点为F，准线为，经过点F的直线交E于A，B两点，交于C点，若，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，则（    ）

A.1010 B.1011 C.2019 D.2020

11. 难度：中等

记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_______；

14. 难度：中等

5个人站成一排，其中甲，乙不站首、尾的概率为___________；

15. 难度：中等

已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____；

16. 难度：中等

已知为等腰直角三角形，，在AC边上任取一点D，过D作BC的平行线交AB于E.以DE为折痕，将折起，使平面平面，则四棱锥体积的最大值为_________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列满足：.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

18. 难度：中等

已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数.

（1）求；

（2）当时，求的取值范围.

19. 难度：中等

某企业为了解某产品的销售情况，选择某个电商平台对该产品销售情况作调查.统计了一年内的月销售数量（单位：万件），得到该电商平台月销售数量的茎叶图.

（1）求该电商平台在这一年内月销售该产品数量的中位数和平均数；

（2）该企业与电商签订销售合同时规定：如果电商平台当月的销售件数不低于40万件，当月奖励该电商平台10万元；大于等于30万件且小于40万件，当月奖励该电商平台5万元；当月低于30万件没有奖励，用该样本估计总体，从电商平台一个年度内任取两个月，记这两个月企业发给电商平台的奖金为万元，求的分布列.

20. 难度：中等

在三棱锥中，已知是等边三角形，分别是的中点，且.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

21. 难度：中等

已知直线，点是直线上的动点，过点作直线，线段的垂直平分线交于点，记点运动的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）已知，且点满足，经过的直线交于两点，且为的中点，证明：为定值.

22. 难度：困难

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求的值；

（2）若恒成立，求的取值范围.