2020届湖南省长沙市高三上学期第3次月考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数满足，则（　　）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

已知f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，则（　　）

A.f（2^0.7）＜f（﹣log₂5）＜f（﹣3） B.f（﹣3）＜f（2^0.7）＜f（﹣log₂5）

C.f（﹣3）＜f（﹣log₂5）＜f（2^0.7） D.f（2^0.7）＜f（﹣3）＜f（﹣log₂5）

4. 难度：中等

某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（    ）

A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B.与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍

C.2015年与2018年艺体达线人数相同

D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

5. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（    ）

           

A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①

7. 难度：简单

要得到函数，只需将函数的图像

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

8. 难度：简单

已知直线：和直线：.若，则等于（    ）

A.2 B.2或-1

C.-1 D.-2或1

9. 难度：简单

公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（    ）

(参考数据：，，）

A.12 B.24 C.48 D.96

10. 难度：中等

若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在中，内角，，的对边分别为，，，且，.的外接圆半径为1，，若边上一点满足，且，则的面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的渐近线方程为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

函数的最小值为______.

14. 难度：中等

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，则此山的高度______.（结果用含根号的式子表示）

15. 难度：简单

已知双曲线的离心率是，则抛物线的准线方程为______.

16. 难度：困难

已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）.规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）.

（1）求图中的值；

（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

（参考公式：，其中）

	0.40	0.025	0.15	0.10	0.05	0.025
	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）将频率视为概率，从本次考试80分以上的所有人员中，按分层抽样的方式抽取5个人的样本；现从5人样本中随机选取2人，求选取的2人恰好都来自区间的概率.

18. 难度：中等

在等比数列中，公比，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．

19. 难度：中等

如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，平面垂直圆所在平面，直线与圆所在平面所成角为，.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 难度：困难

如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.

（i）求证：；

（ii）试探究是否为定值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设，若，恒有成立，求的最小值.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于极点，且，求实数的值.

23. 难度：中等

    已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.

(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；

(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a，b的值．