2020届北京市高三上学期数学10月份月考试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知两条直线和平面，若，则是的（    ）

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

设命题，，则为（    ）

A.， B.， C.， D.，

5. 难度：简单

已知，令，，，那么之间的大小关系为(  )

A.  B.  C.  D.

6. 难度：中等

在等比数列中，，且为和的等差中项，则为　　

A. 9 B. 27 C. 54 D. 81

7. 难度：简单

将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（   ）.

A. B. C. D.

10. 难度：中等

如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：

三棱锥的体积不变；

平面；

；

平面平面．

其中正确的结论的个数是　　

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

11. 难度：简单

已知，，则_________.

12. 难度：简单

若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.

13. 难度：简单

如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________． 

14. 难度：简单

已知，且.则的最大值是_________.

15. 难度：简单

椭圆的焦点为F₁,F₂，点在椭圆上，若，_______；的小大为__________．

16. 难度：困难

若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“函数”，则实数的取值范围是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁=2，且a₁，a₂，a₃-2成等差数列．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{b_n}满足：，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：简单

已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）在中，角的对边分别为，若，，，求的值.

19. 难度：困难

如图,在四棱锥中, 平面平面,.

（1）求证:平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数的最小值为0，求的值；

（2）设，求函数的单调区间；

（3）设函数与函数的图像的一个公共点为，若过点有且仅有一条公切线，求点的坐标及实数的值.

21. 难度：困难

设，为正整数，一个正整数数列满足.对，定义集合.数列中的是集合中元素的个数.

（1）若数列为5，3，3，2，1，1，写出数列；

（2）若，，为公比为的等比数列，求；

（3）对，定义集合，令是集合中元素数的个数.求证：对，均有.