2020届湖南省长沙市高三第5次月考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则下列结论正确的是

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数的实部与虚部相等，则实数等于（    ）

A. B. C.1 D.3

3. 难度：简单

已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是(    )

A. 若,,且,则

B. 若,则

C. 若，,,则

D. 若,，则

4. 难度：中等

已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(    )

A.92，94 B.92，86 C.99，86 D.95，91

5. 难度：中等

已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的(    )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）

A. B. C.—1 D.1

7. 难度：简单

已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知函数为奇函数，则（）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”，而有个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）

A.  B.  C.  D.

11. 难度：中等

为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知实数a，b满足，，则的最小值为　　

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知平面向量满足，，，则        .

14. 难度：简单

已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是______.

15. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为______.

16. 难度：困难

已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如下表：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
学生甲的成绩（分）	80	85	71	92	87
学生乙的成绩（分）	90	76	75	92	82

（1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？

（2）若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？

18. 难度：中等

如图，在直棱柱中，，，，D是BC的中点，点E在棱上运动．

（1）证明：；

（2）当异面直线AC，所成的角为时，求三棱锥的体积．

19. 难度：困难

已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若，求函数的所有零点；

（2）若，证明函数不存在的极值.

21. 难度：中等

已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．

23. 难度：中等

设不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，，，求证：．