2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设非空集合满足，则（　　）

A.，有 B.，有

C.，使得 D.，使得

3. 难度：简单

某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A.1 B.2

C.3 D.4

4. 难度：简单

若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）

A. B. C.-1 D.

5. 难度：中等

已知数列是首项为3，公差为d(d∈N^*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d不可能是(   )

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

6. 难度：简单

已知，则的值是（    ）

A. B. C.2 D.5

7. 难度：中等

若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

在棱长为2的正方体中，点O在底面ABCD中心，在正方体内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为(  )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知实数，满足，则的最大值为（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

10. 难度：中等

若直线：与双曲线：的右支交于不同的两点、，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

    将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为(    )

A.π B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知直线经过点，，则该直线的倾斜角为______.

14. 难度：简单

已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为       .

15. 难度：简单

在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是__________．

16. 难度：中等

已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是_________.

三、解答题

17. 难度：简单

某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.

（1）应收集多少位女生的样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.

	男生	女生	总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
每周平均体育运动时间超过4小时
总计

附：，其中.

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

18. 难度：中等

已知数列的前项的和为，且，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

19. 难度：中等

如图，已知正方形的边长为2，与交于点，将正方形沿对角线折起，得到三棱锥.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，且是钝角，求的长.

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.

21. 难度：困难

已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）求证：对任意正整数，都有（其中，为自然对数的底数）.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.

23. 难度：简单

已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．

（1）解不等式f（x）≤1；

（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．