2019届北京市高三下学期第三次调研考试文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，则等于（  ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知集合，则中元素的个数为（  ）

A.1 B.5 C.6 D.无数个

3. 难度：简单

《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）

A.64 B.73 C.512 D.585

5. 难度：简单

某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点满足不等式组，向圆内均匀撒粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是，则圆周率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面.现有以下四个结论：

①平面；

②；

③若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积；

④与平面所成的角为.

其中正确结论的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7. 难度：中等

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）

A.  B.

C.  D.

8. 难度：中等

在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（    ）

A.64 B. C.36 D.16

二、填空题

9. 难度：简单

若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为__________．

10. 难度：简单

若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．

11. 难度：中等

已知，，分别是锐角的角，，所对的边，且，，若，则______；

12. 难度：中等

数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________.

13. 难度：中等

已知抛物线上有三个不同的点，，，抛物线的焦点为，且满足，若边所在直线的方程为，则______；

14. 难度：中等

若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.

三、解答题

15. 难度：中等

如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．

（Ⅰ）当时，求的大小；

（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n是1与a_na_n+1的等差中项

（1）求证：数列{}是等差数列，并求{a_n}的通项公式

（2）求数列{}的前n项和S_n

17. 难度：简单

某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.

 

(Ⅰ）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；

（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；

（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.

18. 难度：中等

已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，且底面，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）在边上找一点，使平面，并求三棱锥的体积.

19. 难度：中等

已知，（其中常数）.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求证：.

20. 难度：困难

如图，抛物线：的焦点为，以为直角顶点的等腰直角的三个顶点，，均在抛物线上.

（1）过作抛物线的切线，切点为，点到切线的距离为2，求抛物线的方程；

（2）求面积的最小值.