上海市ＳＯＥＣ（八校）2016届高三下学期3月联考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则集合__________；

2. 难度：简单

若，则的值为       　．

3. 难度：简单

方程的解为__________；

4. 难度：中等

数列是等比数列，，，且公比为整数，则数列的前项和的值为__________；

5. 难度：简单

已知椭圆：的焦距为4，且过点，则椭圆的方程为__________；

6. 难度：简单

在正方体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成的角大小等于__________；

7. 难度：简单

图（1）是某区参加2015年高考的学生身高的条件统计图，从左到右的各条形图表示的学生人数依次记为、、、…、，（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数），图（2）是图（1）中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图，现要统计身高在内的学生人数，那么流程图中判断框内整数的为__________；

8. 难度：简单

已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，且，则等于__________；

9. 难度：中等

已知二项式展开式的二项式系数之和为64，在展开式的二项式系数中任取两个求和，则和为偶数的概率为__________；

10. 难度：简单

如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是   ．

11. 难度：简单

已知函数，，的最大值为，最小值为，则行列式的值为__________；

12. 难度：简单

已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________；

13. 难度：困难

已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；

14. 难度：中等

记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则正实数的取值范围是__________；

二、单选题

15. 难度：简单

在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）

A. B.

C. D.

16. 难度：简单

已知，则“”是“”的（          ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

已知点，，若点在曲线（参数）上运动，则面积的最小值为（          ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（          ）

A.②④ B.①② C.①④ D.①③④

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数满足：（为虚数单位），的实部为，虚部为，角的终边经过点；

（1）求复数在复平面上对应的点的坐标及复数的模；

（2）求.

20. 难度：中等

老王有一块矩形旧铁皮，其中，，他想充分利用这块铁皮制作一个容器，他有两个设想：设想1是沿矩形的对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上，再利用新购铁皮缝制其余两个面得到一个三棱锥；设想2是利用旧铁皮做侧面，新购铁皮做底面，缝制一个高为，侧面展开图恰为矩形的圆柱体；

（1）求设想1得到的三棱锥中二面角的大小；

（2）不考虑其他因素，老王的设想1和设想2分别得到的几何体哪个容积更大？说明理由.

21. 难度：中等

设数列的前项和为，已知，，；

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.

22. 难度：困难

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为；

（1）求轨迹的方程；

（2）求定点到轨迹上任意一点的距离的最小值；

（3）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

23. 难度：困难

将所有平面向量组成的集合记作，是从到的对应关系，记作或，其中、、、都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，计算的特征值，并求相应的；

（3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.