2020届北京市高三摸底数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则元素的个数为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

2. 难度：简单

设为虚数单位，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

命题“，有”的否定形式为（    ）

A.，有 B.，有

C.，使 D.，使

4. 难度：简单

已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（    ）

A.80 B.90 C.100 D.120

5. 难度：中等

下列函数中在上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

函数的对称中心坐标为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，若，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某人利用下载软件下载，，三个文件，大小分别为，，（），该下载软件至多可以同时下载两个文件，总下载速度保持为，当同时下载两个文件时，两个文件的下载速度均为，现有以下三种方案可供选择：方案一：同时开启，，当下载结束瞬间，立刻开启；方案二：同时开启，，当下载结束瞬间，立刻开启；方案三：同时开启，，当下载结束瞬间，立刻开启；则这三种下载方案中（    ）

A.方案一更节省时间 B.方案二更节省时间

C.方案三更节省时间 D.三种方案所花时间相同

二、填空题

9. 难度：简单

已知向量，，则________.

10. 难度：中等

在的展开式中，项的系数为__________.

11. 难度：中等

函数的图象在点处的切线方程为__________.

12. 难度：中等

设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则_______.

13. 难度：中等

正四棱柱中，，，则以、、、为顶点的四面体的体积为___________.

14. 难度：中等

定义在上的奇函数满足：当时，；当时，，已知直线与函数的图象有三个交点，设其横坐标分别为，若，则___________.

三、解答题

15. 难度：中等

在中，，，分别为角，，所对边，若.

（1）求角的大小.

（2）若，求周长的取值范围.

16. 难度：困难

如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，，.

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值并证明，若不存在，说明理由.

17. 难度：困难

某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

维修次数	2	3	4	5	6
甲设备	5	10	30	5	0
乙设备	0	5	15	15	15

（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.

18. 难度：困难

已知为函数的极值点.

（1）求的值；

（2）设函数，若对，，使得，求的取值范围.

19. 难度：困难

设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于点，（不与左右顶点重合），连接，已知的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，若，求直线的方程.

20. 难度：困难

设集合的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……

（1）设，直接写出集合的“孪生集”；

（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；

（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.