2020届湖南省长沙市高三上学期第2次月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则下列结论正确的是

A.的虚部为i B.

C.为纯虚数 D.

3. 难度：简单

已知 则a，b，c的大小关系是（    ）

A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.c＞b＞a

4. 难度：简单

函数的大致图像为（  ）

A.  B.

C.  D.

5. 难度：中等

如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若,则与的夹角为(   )

A.  B.  C.  D. π

7. 难度：简单

从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )

A.24 B.18 C.12 D.6

8. 难度：中等

设数列， ()都是等差数列，若，则等于（　　）

A.60 B.62 C.63 D.66

9. 难度：中等

设实数满足条件 ，则目标函数的最大值为(    )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：困难

已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数，则_________．

14. 难度：中等

甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为______.

15. 难度：中等

已知函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为______.

16. 难度：中等

如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为，设，则当时，函数的值域为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知的三个内角，，的对边分别为，，，函数，且当时，取最大值.

（1）若关于的方程，有解，求实数的取值范围；

（2）若，且，求的面积.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设线段的中点为，线段的中点为，且在线段上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

19. 难度：中等

在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且 ，

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．

20. 难度：困难

由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.

（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求、的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；

（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.

①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.

②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，不需要说明理由.

21. 难度：困难

已知函数是减函数.

（1）试确定a的值；

（2）已知数列，求证：.

22. 难度：中等

曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）设,试比较与的大小.