上海市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若，则__________．

2. 难度：简单

从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定“的人数如表：

在所有参加调查的同学中，用分层抽样方法抽取人，其中“参加自主招生”的同学共36人，则__________．

3. 难度：中等

已知，若，则________.

4. 难度：简单

二项式展开式中系数的值是________．

5. 难度：简单

设样本数据，，…，的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数，，2，…，10），则，，…，的方差为__________．

6. 难度：中等

如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为__________．

7. 难度：简单

两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．

8. 难度：中等

正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为__________．

9. 难度：简单

已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________.

10. 难度：中等

设，则的所有子集的最小元素之和为__________

二、单选题

11. 难度：中等

下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外.其中错误命题的个数是（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 难度：简单

某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）

A. 这种抽样方法是一种分层抽样

B. 这种抽样方法是一种系统抽样

C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D. 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

13. 难度：中等

在的展开式中，含项的系数是 （ ）

A.－30 B.30 C.70 D.90

14. 难度：困难

在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A.56个 B.57个 C.58个 D.60个

三、解答题

15. 难度：中等

（1）7名学生站成一排，甲、乙只能站在两端的排法有多少种？（结果用数值表示）

（2）7名学生站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

（3）7名学生站成一排，甲、乙和丙3名学生必须相邻的排法有多少种？

（4）7名学生站成一排，甲、乙两名学生必须相邻，而且丙不能站在排头与排尾的排法有多少种？

（5）7名学生站成一排，甲、乙和丙3名学生都不能相邻的排法有多少种？

16. 难度：中等

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

17. 难度：中等

如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且．

（1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；

（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．

18. 难度：中等

已知数列为首项为，公比为的等比数列，为其前项和．

（1）计算、的值；

（2）归纳对一切正整数成立的恒等式，并给予证明；

（3）对于公比，计算的值．

19. 难度：困难

已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设数列满足：，且，求正整数的值；

（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.

20. 难度：中等

（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．