2020届江西省九江市高三第一次模拟数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数满足，则复平面内表示的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知非零向量，满足，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:

4. 难度：简单

已知实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

设等差数列的前项和为，已知，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：困难

已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

定义，已知函数，，则函数的最小值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为______.

14. 难度：中等

的展开式中的系数为____.

15. 难度：中等

在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

16. 难度：困难

已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角的对边分别是，已知.

（1）求角的值；

（2）若，，求的面积．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：困难

已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.

20. 难度：困难

随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

21. 难度：困难

已知函数().

（1）讨论的单调性；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数，且．

（1）若，求的最小值，并求此时的值；

（2）若，求证:．