人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第八章 立体几何初步 本章整合提升

一、解答题

1. 难度：中等

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，，，，BC=6.

（1）证明：平面ADC平面ADB；

（2）求二面角A—CD—B平面角的正切值.

2. 难度：简单

已知中，，，平面，，、分别是、

上的动点，且.

（1）求证：不论为何值，总有平面平面；

（2）为何值时，平面平面？

二、填空题

3. 难度：简单

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．

三、解答题

4. 难度：中等

由四棱柱截去三棱锥，后得到的几何体如图所示.四边形为正方形，为与的交点，E为的中点，平面.

（1）证明：平面；

（2）设M是的中点，证明：平面平面.

5. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

四、单选题

6. 难度：简单

已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（    ）

A.m与n异面 B.m与n相交

C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能

五、填空题

7. 难度：简单

在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有________条.

六、解答题

8. 难度：中等

如图所示，直三棱柱的侧棱和底面边长都是a，截面和相交于DE，求三棱锥的体积.

9. 难度：中等

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求三棱锥的体积．

10. 难度：中等

如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，，，EF上任意—点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.

七、填空题

11. 难度：简单

如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是         ．

12. 难度：中等

如图，在圆柱O₁ O₂ 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O₁ O₂ 的体积为V₁ ,球O的体积为V₂ ，则 的值是_____

八、解答题

13. 难度：中等

如图，在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，为正三角形，分别为的中点，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面.

14. 难度：简单

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为的中点为N.

（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）证明：直线平面.

15. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

16. 难度：中等

如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

九、填空题

17. 难度：中等

已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．

十、解答题

18. 难度：简单

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

    （1）证明：平面；

    （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

19. 难度：中等

如图，在边长为2的正方形中，，M是和的交点，将，分别沿折起，使两点重合于点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

十一、单选题

20. 难度：中等

圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（   ）

A. B. C. D.

21. 难度：简单

下列命题中是真命题的个数是（   ）

（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行

（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行

（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行

（4）两条直线能确定一个平面

（5）垂直于同一个平面的两个平面平行

A. B. C. D.

22. 难度：中等

在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（  ）

A.  B.  C.  D.

23. 难度：简单

若是互不相同的空间直线，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，，则共面

C.若，，若 D.若共点，则共面

24. 难度：中等

已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的体积为(　　)

A. B. C. D.

25. 难度：简单

如图，在长方体中，M，N分别是棱BB₁，B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁和DM所成角为（    ）

A.30° B.45°

C.60° D.90°

26. 难度：中等

设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列个命题：其中命题正确的个数是（    ）

①若，且，则；

②若，且，则；

③若，，，则；

④ 若，，，且，则.

A. B. C. D.

27. 难度：简单

如图，E为正方体的棱AA₁的中点，则与平面所成角的正弦值是（　  　）

A. B. C. D.

28. 难度：中等

已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A.  B.  C.  D.

29. 难度：简单

已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）

A. B. C. D.

30. 难度：简单

在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于（    ）

A. B. C. D.

31. 难度：困难

在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为

A.4 B. C. D.

十二、填空题

32. 难度：简单

如图是正方体的表面展开图，则在这个正方体中，

①与是异面直线；②与是异面直线；③与垂直.

以上三个说法中，正确的是_____（填序号）.

33. 难度：中等

在中，，.若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为______.

34. 难度：中等

已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

35. 难度：中等

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．

十三、解答题

36. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

37. 难度：简单

如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

38. 难度：中等

如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成角，且，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．

（2）点E在AB的何处时，截面EFGH的面积最大？

39. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

40. 难度：中等

（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

41. 难度：中等

如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且．

求三棱锥的表面积；

求证平面DEF；

若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．