人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步 本章整合提升

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.

2. 难度：简单

已知中，，，平面，，、分别是、

上的动点，且.

（1）求证：不论为何值，总有平面平面；

（2）为何值时，平面平面？

3. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

4. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.

(Ⅰ)证明：AB平面PFE.            

(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

5. 难度：中等

用互相平行且距离为27的两个平面截球，两个截面圆的半径分别为，，试求球的表面积.

二、单选题

6. 难度：简单

已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（    ）

A.m与n异面 B.m与n相交

C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能

三、填空题

7. 难度：简单

在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有________条.

四、单选题

8. 难度：简单

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，.则顶点A，B间的球面距离是（    ）

A. B. C. D.

五、解答题

10. 难度：中等

求棱长为a的正四面体的外接球、内切球及棱切球的半径.

六、单选题

11. 难度：困难

设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A. B. C. D.

七、解答题

12. 难度：中等

已知正三棱锥的高为1，底面边长为，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求球的表面积与体积．

八、填空题

13. 难度：困难

水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是________.

九、解答题

14. 难度：中等

求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

15. 难度：困难

已知在中，，.S是所在平面外一点，，，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离.

16. 难度：中等

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接．

（Ⅰ）证明：平面． 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．

17. 难度：简单

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

18. 难度：中等

如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折起到的位置.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ)若，求五棱锥的体积.

19. 难度：简单

如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图②所示的几何体.

(1)求证：平面；

(2)若，与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离.

20. 难度：中等

四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

21. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，．

（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；

（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值．

22. 难度：中等

如图所示，直三棱柱的侧棱和底面边长都是a，截面和相交于DE，求三棱锥的体积.

23. 难度：中等

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求三棱锥的体积．

24. 难度：中等

如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，，，EF上任意—点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.

十、填空题

25. 难度：简单

如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是         ．

十一、单选题

26. 难度：简单

将锐角三角形绕其一边旋转一周所形成的空间几何体是

A.一个圆柱 B.一个圆锥 C.一个圆台 D.两个圆锥的组合体

27. 难度：中等

下列命题中正确的是（    ）

A.在两个平行平面中，一平面内的一条直线必平行于另一平面内的任一直线

B.夹在两平行平面间且长度相等的线段所在的直线必平行

C.两平面分别与第三个平面相交，若交线平行，则两平面平行

D.若两条直线a，b分别垂直于两平行平面中的一个，则

28. 难度：中等

如图，在正方形中，分别是的中点，沿把正方形折成一个四面体，

使三点重合，重合后的点记为 点在△AEF 内的射影为，则下列说法正确的是(        )

A.是的垂心 B.是 的内心

C.是 的外心 D.是的重心

29. 难度：简单

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则

（  ）

A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于

30. 难度：简单

在空间，下列说法正确的是（ ）

A.两组对边相等的四边形是平行四边形

B.四边相等的四边形是菱形

C.平行于同一直线的两条直线平行

D.三点确定一个平面

31. 难度：困难

如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为，，，那么，，的大小关系为（    ）

A. B.

C. D.

32. 难度：困难

如图（1），一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水，若将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为（如图（2）），则图（1）中的水面高度为（    ）

A. B. C. D.

33. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥，使平面平面BCD，则下列结论中正确的是（    ）

A. B.

C. D.三棱锥的体积为

34. 难度：困难

半径为R的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（    ）

A. B.

C. D.

35. 难度：中等

如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在（    ）位置时，平面平面PAO.

A.Q与C重合 B.Q与重合

C.Q为的三等分点 D.Q为的中点

十二、填空题

36. 难度：简单

已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为________.

37. 难度：中等

如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________.

38. 难度：中等

已知正三棱柱的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________.

39. 难度：困难

如图所示，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知是绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

、

①动点在平面ABC上的射影在AF上；

②恒有平面平面BCED；

③三棱锥的体积有最大值；

④直线与BD不可能垂直.

其中正确的命题的序号是________.

十三、解答题

40. 难度：中等

如图，四棱锥，底面ABCD是直角梯形，且，，，，，M，N分别为FD，AD的中点.

（1）求证：面PAB；

（2）求证：面MNC.

41. 难度：中等

已知，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，

AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q.求证：

(1)D，B，E，F四点共面.

(2)若A₁C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.

42. 难度：中等

在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，PA=AB,E是PD的中点.

（1）求证：平面EAC；

（2）求证：平面平面PAD.

43. 难度：中等

如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.

                 

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.