2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设集合,则（　　）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：简单

中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（　　）

A. B.

C. D.

4. 难度：中等

数列满足，且，则数列前10项的和为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

下列关于命题的说法错误的是（    ）

A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

C.若命题：，，则，

D.命题“，”是真命题

6. 难度：中等

如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（    ）．

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（   ）

A.  B.  C. 1 D.

10. 难度：困难

已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（  ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S . 给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则[

其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

13. 难度：中等

若，则 ______．

14. 难度：中等

安排六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，安排方法共有___________．

15. 难度：中等

已知正项等比数列的公比，且满足，，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_________．

16. 难度：困难

已知函数在上存在唯一零点，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上）

①；②；③；④.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．               

               

(1) 证明：PB∥平面AEC               

(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为A，右顶点B在直线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20. 难度：中等

十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:

(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？

附：参考数据与公式

则①；②；③.

21. 难度：困难

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

22. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求的极坐标方程；

(2)若直线与曲线相交于，两点，求.

23. 难度：中等

设函数，其中，.

（1）当，时，求关于的不等式的解集；

（2）若，证明：.