2020届湖南省长沙市高三上学期第3次月考数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数满足（其中i是虚数单位），则（    ）

A. B. C.2 D.

2. 难度：简单

下列命题中，真命题是（ ）

A.

B.的充要条件是

C.若

D.若，且，则至少有一个大于1

3. 难度：简单

已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，

现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的式子的序号是（    ）

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

5. 难度：简单

函数的图象大致形状为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（  ）

A. 168 B. 98 C. 108 D. 88

7. 难度：中等

在边长为2的正中，设，，则（    ）

A.-2 B.-1 C. D.

8. 难度：中等

在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，则（    ）

A. B.

C. D.与的大小关系不能确定

9. 难度：中等

在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（    ）

①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；

④已知随机变量服从正态分布，且，则.

A.1 B.2 C.3 D.4

11. 难度：中等

关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；②在区间单调递减；

③的周期是；④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A.①②③ B.②④ C.①② D.①③

12. 难度：中等

已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

根据下列算法语句，当输入为80时，输出的值为______.

14. 难度：中等

已知，若，，成等差数列，则______.

15. 难度：中等

已知非负实数，满足，则关于的方程有实根的概率是______.

16. 难度：中等

在四面体中，已知，则此四面体体积的最大值是______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知正数数列的前项和，满足．

（1）求的通项公式；

（2）设，求证：．

18. 难度：中等

如图，已知是半径为2的半球的直径，为球面上的两点且，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）判断在内的零点个数，并加以证明.

20. 难度：困难

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.

21. 难度：困难

已知曲线上任意一点到直线：的距离是它到点距离的2倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.

（1）求，的方程；

（2）设过点的动直线与曲线相交于，两点，分别以，为切点引曲线的两条切线，，设，相交于点.连接的直线交曲线于，两点.

（i）求证：；

（ii）求的最小值.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.

23. 难度：简单

（1）设，，均为正数，且，证明：；

（2）解关于不等式：.