2019届重庆南开中学高三第四次教学质量检测数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则（    ）

A.5 B. C. D.

3. 难度：简单

设，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A.-7 B.-6 C.-5 D.-4

4. 难度：简单

的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（    ）

A. B.2 C. D.4

5. 难度：简单

设双曲线的左、右焦点分别为，，是上的点，若，且长度为，则的离心率为（    ）

A. B.2 C.3 D.

6. 难度：简单

根据下图给出的年至年某地区社会消费品零售额及增长速度情况．以下结论正确的是(  )

A.年以来该地区社会消费品零售额与年份负相关

B.年以来该地区社会消费品零售额与年份宜用线性回归模型拟合

C.年该地区社会消费品零售额同比增长速度最大

D.年以来该地区社会消费品零售额增长速度逐年递减

7. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为(  )

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知实数，，满足，，，则实数，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

运行如图所示的程序框图，若输出的的值为287，则判断框中可以填（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则直线的斜率为（    ）

A. B.±1 C. D.

11. 难度：中等

已知函数是定义域为的奇函数，满足，则下列结论中错误的是（    ）

A. B.函数的图象关于对称

C. D.若函数在区间上单调递增，则

12. 难度：中等

若函数（a为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，使乘积为奇数的概率是__________．

14. 难度：简单

已知正方形的边长为4，，则__________．

15. 难度：中等

已知正三棱锥的体积为，底面边长为，则以顶点为球心，侧棱为半径的球的表面积为__________．

16. 难度：中等

函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象关于轴对称，则__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列是等差数列且，数列满足：，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．

（1）求证：平面；

（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求．

19. 难度：中等

“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”于2019年3月20日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放40年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放40年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达423万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达4.03亿次．

下表是2019年2月参观人数（单位：万人）统计表

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
人数	3.0	3.1	2.5	2.3	5.4	6.8	6.2	6.7	5.5	4.9	3.2	3.0	2.7	2.5
日期	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
人数	2.4	2.9	3.2	2.8	2.9	2.3	3.0	2.9	3.1	3.0	3.1	3.1	3.1	3.0

根据表中数据回答下列问题：

（1）请将2019年2月前半月（1～14日）和后半月（15～28日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（2）将2019年2月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样7天的样本数据．若抽取的样本编号是以4为公差的等差数列，且数列的第4项为15，求抽出的这7个样本数据的平均值；

（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为0～3（含3，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从（2）中抽出的样本数据中随机抽取两天的数据，求这两天参观者的体验满意度均为最住的概率．

20. 难度：中等

动圆与相外切，与相内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）是动圆的半径最小时的圆，倾斜角为且过点的直线l与相切，与轨迹交于，两点，求的值．

21. 难度：困难

函数．

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点且函数的极小值小于，求实数的范围．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到曲线的最短距离．

23. 难度：中等

已知．

（1）证明；

（2）若，记的最小值为，解关于的不等式．