上海市2016届高三上学期9月摸底数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数（i为虚数单位）的模为________．

2. 难度：简单

若，，则cosθ-sinθ的值是______．

3. 难度：简单

在的展开式中，含的项的系数是________．

4. 难度：简单

某射击选手连续射击5枪命中环数分别为9.7、9.9、10.1、10.2．10.1，则这组数据的方差为________．

5. 难度：简单

以抛物线的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．

6. 难度：中等

对数不等式的解集是，则实数的值为______.

7. 难度：简单

已知，是不平行的向量，设，，则与共线的充要条件是实数k等于________．

8. 难度：简单

若函数的零点，a为整数，则所有满足条件a的值为________．

9. 难度：中等

若正项数列是以为公比的等比数列，已知该数列的每一项的值都大于从开始的各项和，则公比的取值范围是________

10. 难度：简单

已知是球的一条直径，点是上一点，若平面过点且垂直截得当圆的面积为时，则球的表面积是____________.

11. 难度：简单

已知函数与互为反函数，又与的图像关于直线对称，若，则________．

12. 难度：中等

关于的方程的两个根，若，则实数__________．

13. 难度：简单

设，是曲线的两个焦点，曲线上一点与，构成的三角形的周长是16，曲线上的点到的最小距离为2，则________．

14. 难度：中等

在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则        ．

二、单选题

15. 难度：简单

“”是“函数只有一个零点”的（　　）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

16. 难度：简单

若,且,则角的终边所在象限是(    )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

17. 难度：中等

已知f(x)=Asin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x₁,x₂∈,且|x₁-x₂|_min=π,则f(x)的最小正周期是(　　)

A.3π B.2π C.π D.

18. 难度：简单

已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：简单

如图，在直三棱柱中，已知，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求二面角的大小．

20. 难度：中等

用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米．

（1）求横梁AB的长度；

（2）求梯形外框的用料长度；

（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，结果精确到1厘米）

21. 难度：中等

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．

（1）令，，求的取值范围；

（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

22. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不重合的点.

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；

（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为，当面积取最小值时，求直线AB的方程；

23. 难度：困难

记无穷数列的前n项，，…，的最大项为，第n项之后的各项，，…的最小项为，．

（1）若数列的通项公式为，写出，，并求数列通项公式；

（2）若数列的通项公式为，判断是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；

（3）若数列为公差大于零的等差数列，求证：是等差数列．