2020届吉林省长春市等六校高三联合模拟考试文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（    ）

A.1 B.-1 C. D.

3. 难度：简单

已知，且为第三象限角，则的值等于（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知向量，，若，则（    ）

A. B. C. D.2

5. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若，，则的最小值等于（    ）

A.-34 B.-36 C.-6 D.6

6. 难度：简单

已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确是（    ）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，，，且，，则

7. 难度：简单

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（    ）

A.80 B.47 C.79 D.48

8. 难度：简单

设变量，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.2 B.-4 C.12 D.13

9. 难度：简单

2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知函数（）在上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的离心率为（  ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数与函数的图象在区间上恰有两对关于轴对称的点，则实数取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，则__________．

14. 难度：简单

正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

15. 难度：中等

已知各项都为正数的数列的前项和为，并且，则__________．

16. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，，四个点，设，，则__________；的最小值为_______．

三、解答题

17. 难度：简单

在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，若.

（1）求角的弧度数；

（2）若，求的面积.

18. 难度：简单

2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在内）

活动时间
频数	8	10	7	9	4	2

（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；

（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

19. 难度：中等

在四棱锥中，平面，在棱上，且，在底面中，，，，为对角线，的交点.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

已知椭圆：（）的左焦点为，是上一点，且与轴垂直，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，且的面积是，其中是坐标原点.

（1）求椭圆的方程.

（2）若过点的直线，互相垂直，且分别与椭圆交于点，，，四点，求四边形的面积的最小值.

21. 难度：困难

已知函数（）.

（1）当时，讨论函数单调性；

（2）若，（，为的两个零点，且）求的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）直线和曲线交于、两点，点的直角坐标为，求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.