2020届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

正项等差数列的前和为，已知，则=（     ）

A.35 B.36 C.45 D.54

4. 难度：简单

如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（    ）

A.134 B.67 C.182 D.108

5. 难度：简单

在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：简单

已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

函数的图象大致是(    )

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为

A.48 B.72 C.90 D.96

11. 难度：中等

已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.

14. 难度：中等

设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．

15. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，则__________.

16. 难度：中等

若函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m的取值范围是____________．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在中，已知点D在边BC上，且，，，．

求BD长；

求

18. 难度：中等

设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .

(Ⅰ)求数列，的通项公式；

(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率，且椭圆过点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

20. 难度：中等

在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.

（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；

（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？

（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求.（精确到）

附：①，；②，则，；③.

21. 难度：困难

已知函数，的最大值为．

求实数b的值；

当时，讨论函数的单调性；

当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若，，，求证：.