湖南省2019-2020学年高二上学期入学考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（　　）

A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.以上都是

2. 难度：简单

若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为　　

A.

B.

C.

D.

3. 难度：中等

设为等差数列的前项和，.若，则（    ）

A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D.的最小值为

4. 难度：简单

如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(   )

A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4

5. 难度：简单

四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积（   ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

若圆上总存在点A，使得，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 难度：简单

在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：简单

若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）

A.过点有且仅有一条直线与都平行

B.过点有且仅有一条直线与都垂直

C.过点有且仅有一条直线与都相交

D.过点有且仅有一条直线与都异面

9. 难度：中等

已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（    ）

A.2018 B.4036 C.2019 D.4038

10. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=　(　　)

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率等于（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数有两个不同的零点,且方程有两个不同的实根,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数(    )

A. B. C. D.

13. 难度：中等

已知直线，，若直线与关于对称，则的方程是（    ）

A. B.

C. D.

14. 难度：简单

设平面点集，则所表示的平面图形的面积为

A. B. C. D.

15. 难度：困难

数列的通项，其前项和为，则为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

16. 难度：中等

已知为直角三角形的三边长，为斜边长，若点在直线上，则的最小值为__________．

17. 难度：简单

已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为          ．

18. 难度：简单

已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为__________.

19. 难度：中等

已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．

20. 难度：中等

在中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为______.

三、解答题

21. 难度：中等

某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

22. 难度：中等

已知数列为等差数列，，且满足，数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

23. 难度：中等

已知向量，记．

（1）若，求的值；

（2）在锐角中，角的对边分别是，且满，求的取值范围．

24. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．

（1）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；

（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．

25. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．

（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；

（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．