2020届江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则_________.

2. 难度：简单

已知复数z满足，且的虚部小于，则_________.

3. 难度：简单

若一组数据7，，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是______.

4. 难度：简单

执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_________.

5. 难度：简单

函数的定义域是        ．

6. 难度：中等

某学校高三年级有、两个自习教室，甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.

7. 难度：简单

若关于的不等式的解集是，则实数的值为_____.

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.

9. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，，，则的值为_________.

10. 难度：中等

已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是、、，则的面积为________.

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆外切于点，且过点，则圆的标准方程为_________.

12. 难度：中等

已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____.

13. 难度：中等

如图，在中，、是上的两个三等分点，，则的最小值为________.

14. 难度：困难

设函数，，其中、.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

二、解答题

15. 难度：简单

如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.

求证：

（1）∥平面；

（2）平面平面.

16. 难度：中等

在中，角、、的对边分别为、、，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值.

17. 难度：中等

如图，在圆锥中，底面半径为，母线长为.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥体积为.

（1）将表示成的函数；

（2）求的最大值.

18. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.

（1）用表示椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆的离心率.

19. 难度：困难

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

20. 难度：困难

已知数列的首项，对任意的，都有，数列是公比不为的等比数列.

（1）求实数的值；

（2）设数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项.

21. 难度：简单

已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）在曲线上求点，使点到的距离最小，并求出最小值.

23. 难度：中等

已知正数满足，求的最小值.

24. 难度：中等

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，平面平面.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

25. 难度：中等

已知为给定的正整数，设，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.