重庆市2020届高三上学期10月月考（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A. B. C.1 D.

3. 难度：简单

在，“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

过点，且在轴上的截距为3的直线方程是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（    ）

A. B. C.2 D.

6. 难度：简单

已知随机变量服从正态分布, 且, 则 (  )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

点直线与线段相交，则实数的取值范围是(  )

A. B.或

C. D.或

8. 难度：中等

已知，，且满足，，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（    ）

A.1 B.2 C.-1 D.-2

11. 难度：中等

已知双曲线：（，），设左、右焦点分别为，，，在双曲线右支上存在一点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，且所在直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.2

12. 难度：困难

已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

若直线的倾斜角为，则实数的值为______.

14. 难度：中等

在一个不透明的容器中有5个小球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个，那么至少有1个红球的概率为______.

15. 难度：中等

函数的最大值为______.

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于，两点，点，分别在线段，上，若与圆相切，则的最小值为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，.

（1）求函数的最大值；

（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.

18. 难度：中等

已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程.

19. 难度：中等

新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.

（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由）

（2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是.请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？

20. 难度：困难

已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

设函数，（）.

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；

（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.

23. 难度：中等

己知函数且不等式对任意成立.

（1）求实数的取值范围；

（2）设取最大值时，求不等式的解集.