2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学 (理科)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若，则的虚部是（      ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（      ）

A. B.

C. D.

3. 难度：中等

已知为定义在上的偶函数，当时，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

函数的部分图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

在中，角所对的边分别为，已知，则（    ）

A.或 B. C. D.或

7. 难度：简单

将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：困难

点在所在的平面内，，，，，且，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（    ）

（附：）

A.个 B.个 C.个 D.个

12. 难度：中等

已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（     ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为______.

14. 难度：中等

的展开式中的常数项为______.

15. 难度：困难

在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.

16. 难度：中等

某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.

（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面

（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. 难度：中等

某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．

（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．

（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．

20. 难度：困难

已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．

（1）求的方程；

（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）若不等式对恒成立，求的最小值；

（2）证明：.

（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．

23. 难度：中等

设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且，求的最小值．