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2019届重庆市校高三4月月考数学(理)试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

已知集合,则   

A. B. C. D.

 

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2. 难度:简单

为虚数单位,复数,则复数的虚部为(   

A. B. C.2 D.

 

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3. 难度:简单

已知向量,则该两向量的夹角为(   

A.150° B.120° C.60° D.30°

 

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4. 难度:简单

已知函数,则的最大值为(   

A. B. C. D.

 

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5. 难度:中等

《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为( 

A. B. C. D.

 

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6. 难度:简单

若双曲线与双曲线的渐近线相同,则的离心率为(  

A. B. C. D.2

 

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7. 难度:简单

运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a,则函数yxa在(0+∞)是增函数的概率为(  )

A.  B.  C.  D.

 

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8. 难度:简单

实数满足等式,则的取值范围是(   

A. B. C. D.

 

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9. 难度:中等

如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中,直线所成角的余弦值为(   

A. B. C. D.

 

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10. 难度:中等

某餐厅并排有7个座位,甲、乙、丙三位顾客就餐,每人必须选择且只能选择一个座位,要求两端座位不能坐人,并且连续空座至多有2个,则不同的坐法有(   

A.24 B.36 C.48 D.56

 

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11. 难度:简单

一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点,则公切线段的长为(   

A.2 B. C.1 D.

 

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12. 难度:困难

已知是椭圆与抛物线的一个交点,定义.设定点,若直线与曲线恰有两个交点,则周长的取值范围是(  

A. B. C. D.

 

二、填空题
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13. 难度:简单

的展开式中的系数为________

 

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14. 难度:简单

若实数,满足约束条件,则的最大值为________.

 

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15. 难度:中等

已知等比数列满足:的等差中项,且不是常数列.是数列的前项和,若当时,取得最小值,则_______.

 

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16. 难度:困难

四棱锥的底面是边长为1的正方形,平面.过直线的平面垂直,且与交于点,当三棱锥的体积最大时,四棱锥的外接球表面积为_______.

 

三、解答题
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17. 难度:简单

的内角的对边分别为,已知.

1)求内角的大小;

2)若的周长为,面积为,求边的长度.

 

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18. 难度:中等

重庆市的新高考模式为,其中“3”是指语文、数学、外语三门必步科目:“1”是指物理、历史两门科目必选且只选一门;“2”是指在政治、地理、化学、生物四科中必须任选两门,这样学生的选科就可以分为两类:物理类与历史类,比如物理类有:物理+化学+生物,物理+化学+地理,物理+化学+政治.物理+政治+地理,物理+政治+生物,物理+生物+地理.重庆某中学高一学生共1200人,其中男生650人,女生550人,为了适应新高考,该校高一的学生在3月份进行了的选科,选科情况部分数据如下表所示:(单位:人)

性别

物理类

历史类

合计

男生

590

 

 

女生

 

240

 

合计

900

 

 

 

1)请将题中表格补充完整,并判断能否有99%把握认为是否选择物理类与性别有关

2)已知高一9班和10班选科结果都只有四种组合:物理+化学+生物,物理+化学+地理,政治+历史+地理,政治+历史+生物.现用数字1234依次代表这四种组合,两个班的选科数据如下表所示(单位:人).

 

理化生

理化地

政史地

政史生

班级总人数

9

18

18

12

12

60

10

24

12

18

6

60

 

现分别从两个班各选一人,记他们的选科结果分别为,令,用频率代表概率,求随机变量的分布列和期望.(参考数据:

附:

0.050

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

 

 

 

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19. 难度:困难

如图1,在矩形中,已知,点分别在边上,且,将梯形沿折起,使在平面上的射影恰好落在线段靠近的三等分点处,得到图2中的立体图形.

12   

1)在图2中,求证:平面

2)求二面角的大小.

 

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20. 难度:困难

已知椭圆的左焦点为,直线与圆交于两点.

1)若直线过点,且,求被椭圆所截得的弦的长度;

2)若已知点在椭圆上,动点满足,请判断点与圆的位置关系,并说明理由.

 

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21. 难度:困难

已知函数.

1)若有两个极值点,求实数的取值范围;

2)已知的三个零点,且.时,求证:.

 

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22. 难度:中等

在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于不同的两点.

1)求曲线的普通方程;

2)若直线轴的交点为,求的取值范围.

 

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23. 难度:中等

设函数.

1)当时,求不等式的解集;

2)若不等式的解集包含,求实数的取值范围.

 

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