2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数满足，则的共轭复数为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

执行图中所示程序框图，若输入，则输出结果为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（    ）

A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变

B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人

C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）

D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg

5. 难度：简单

已知数列是首项为，公比为的等比数列，则等于（    ）

A.8 B.32 C.64 D.128

6. 难度：中等

某校高三年级有男生人，编号为，，…，；女生人，编号为，，…，．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这名学生中抽取人进行问卷调查，第一组抽到的号码为，现从这名学生中随机抽取人进行座谈，则这人中既有男生又有女生的概率是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ）

A. B.0 C.2 D.2020

8. 难度：中等

已知函数的部分图像如图所示，且，则的值为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（    ）（保温带厚度忽略不计）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（  ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（    ）

A.11 B.12 C.11或13 D.12或13

二、填空题

13. 难度：简单

曲线过点的切线方程为_________．

14. 难度：简单

已知为圆的弦，若，则_________．

15. 难度：中等

已知以F为焦点的抛物线C：上的两点A、B满足，则|AB|________．

16. 难度：困难

已知函数

（1）若,且值域为,则实数a的取值范围为_________．

（2）若存在实数a,使值域为,则实数t的取值范围为_________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，，点在边上，．

（1）若的面积为，求；

（2）若，，求．

18. 难度：中等

在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．

（1）求证：平面AEF⊥平面ACD；

（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

19. 难度：困难

已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．

20. 难度：困难

某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．

（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；

（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？

（3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；

②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．

21. 难度：困难

已知函数，．证明：

（1）存在唯一x₀∈（0,1），使f(x₀)＝0；

（2）存在唯一x₁∈（1，2），使g(x₁)＝0，且对(1)中的x₀，有x₀＋x₁<2．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程；

（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．

23. 难度：中等

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记函数，且的最大值为，若，求证：．