2020届吉林省通化市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知椭圆：的焦距为2，且短轴长为6，则的方程为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有10位外国人，其中关注此次大阅兵的有8位，若从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，则被采访者中至少有2位关注此次大阅兵的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知，且，则（    ）

A.2 B. C.3 D.

7. 难度：中等

在平行四边形中，，，，，，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为（    ）

A.30，8900 B.31，9200 C.32，9500 D.33，9800

9. 难度：中等

若直线是曲线的一条切线，则的解析式不可能为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则不等式的解集是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

上海地铁11号线是世界最长的地铁截至2019年9月28日，中国已开通地铁的城市有41个，按照地铁的全长排名，排在前四名的依次为上海、北京、广州、南京，则这四个城市的地铁全长的平均值为______.

14. 难度：简单

在四棱锥中，，，，则______.

15. 难度：中等

已知，，现有下列四个结论：

①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是______.

16. 难度：中等

设，，分别为内角，，的对边.已知，则的取值范围为______.

三、解答题

17. 难度：中等

某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.

（1）求；

（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

20. 难度：困难

在正项数列中，，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）若，求与的普通方程；

（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若“，”为假命题，求的取值范围.