2019届重庆市高三学业质量调研抽测（第三次5月）理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，复数满足：，则在复平面内对应点的坐标为（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

等差数列的前项和为，已知，，则的值等于（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（  ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

二项式的展开式中第项是常数项，则的值是（  ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图给出计算值的一个程序框图，其中空白的判断框内应填入的条件是（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（  ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的名专家对石柱县的个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为（  ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知随机变量服从正态分布，若，则_________.

14. 难度：简单

已知直线与曲线相切，则实数的值为_________.

15. 难度：简单

已知实数满足，其中，则的最大值为________.

16. 难度：简单

抛物线和圆，直线与抛物线和圆分别交于四个点、、、（自上而下的顺序为、、、），则的值为__________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，其中，，，，且的最小值为，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，的图象关于原点对称.

（1）求函数的解析式和单调递增区间；

（2）在中，角所对的边分别为，且，求.

18. 难度：简单

已知多面体中，为矩形，平面，，且，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

19. 难度：简单

九龙坡区围绕大力发展高新技术产业、推进高质量城市管理、创造高品质人民生活，建设宜居、宜业、宜游的“三高九龙坡、三宜山水城”的总愿景，全面开启新时代的新梦想、新征程.热心网友“我是坡民”通过问卷，对近五年游客满意度排在前三名的区内景点进行了统计，结果如表一.根据此表，他又对游览过热门景点重庆动物园的100名游客进行满意度调查，给景点打分，满分为100分，得分超过90分的为“特别满意”，其余为“基本满意”，将受调查游客年龄为12岁及以下的人群称为儿童，得到列联表，如表二：

表一：

年份景点排名	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年
1	重庆动物园	重庆动物园	龙门阵景区	彩云湖	彩云湖
2	华岩景区	华岩景区	重庆动物园龙	龙门阵景区	黄桷坪涂鸦街
3	巴国城	海兰云天	黄桷坪涂鸦街	华岩景区	重庆动物园

表二：

	特别满意	基本满意	合计
儿童	40
非儿童		30
合计	60		100

（1）完成表二的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为调查对象是否“特别满意”与是否是儿童有关；

（2）为安排节假日出行，“我是坡民”从表一的5个年份中随机选择2个年份，再从这2个年份排名前三的景点中任意选择1个景点，记选择出的景点中“重庆动物园”出现的次数为，求的分布列及数学期望.

参考公式.

参考数据：，，，.

20. 难度：简单

在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为8，面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

21. 难度：中等

已知函数（，为自然对数的底数，）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求使得恒成立的最小整数.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）直线和曲线交于两点，点的直角坐标为，求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）恒成立的实数的最大值；

（2）设，，且满足，求证：.