2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，则=（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

等差数列前项和为，已知，,则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里.四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠.故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里.”意思为“天的中央亦高出四周六万里，四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠.所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里.”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（    ）

A.万里 B.万里 C.万里 D.万里

5. 难度：简单

抛物线的准线方程为（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若展开式中第项二项式系数和第项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

若，，，则、、的大小关系为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：中等

某校高三年级有男生人，学号为，，，；女生人，学号为，，，.对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这名学生中抽取人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为）；再从这名学生中随机抽取人进行数据分析，则这人中既有男生又有女生的概率是（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

已知函数,,则下列说法中错误的是（    ）

A.有个零点 B.最小值为

C.在区间单调递减 D.的图象关于轴对称

11. 难度：中等

如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若点与曲线上点距离最小值为，则实数为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，且，则 ________.

14. 难度：简单

已知数列满足，，那么数列的前项和______.

15. 难度：中等

已知正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面边长为，为中点，，则球表面积为______.

16. 难度：中等

设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.

（1）求证：；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小.

18. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的周期；

（2）若，，求.

19. 难度：中等

已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.

20. 难度：中等

小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，年月日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为、、、，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测.现用、、、表示某网友对实际名次为、、、的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述.

（1）求的分布列及数学期望；

（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点个数.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程;

（2）若直线、的极坐标方程分别为，，设直线、与曲线的交点分别为、（除极点外），求的面积.

23. 难度：中等

已知函数的最大值为.

（1）求不等式的解集；

（2）若、、均为正数，且满足，求证：.