江苏省2019-2020学年高二第一次调研测试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

已知，是虚数单位，若，则的值为（    ）

A. B.1 C.2 D.4

3. 难度：中等

“”是“函数在上单调递增”的（    ）．

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知的导函数是，记，，，则，，的大小关系为（    ）．

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知F₁，F₂为双曲线的焦点，过F₂垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF₁交y轴于点C，若AC⊥BF₁，则双曲线的离心率为(　　)

A.

B.

C.

D.

6. 难度：中等

如图，在等腰中，，，为的中点，为的中点，为线段上一个动点（异于两端点），沿翻折至，点在平面上的投影为点，当点在线段上运动时，以下说法不正确的是（    ）．

A.线段为定长 B.

C. D.点的轨迹是圆弧

7. 难度：中等

已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）

A.120 B.240 C.360 D.480

二、多选题

9. 难度：简单

下列结论正确的是（    ）．

A.“，互为共轭复数”是“”的充分不必要条件

B.如图，在复平面内，若复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点的坐标为

C.若函数恰在上单调递减，则实数的值为4

D.函数在点处的切线方程为

10. 难度：中等

如图所示，抛物线，为过焦点的弦，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，则下列结论正确的是（    ）．

A.若的斜率为1，则

B.若的斜率为1，则

C.点恒在平行于轴的直线上

D.的值随着斜率的变化而变化

11. 难度：简单

已知四棱柱为正方体．则下列结论正确的是（    ）．

A.

B.

C.向量与向量的夹角是

D.正方体的体积为

12. 难度：中等

已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）．

A.当时，

B.函数有五个零点

C.若关于的方程有解，则实数的取值范围是

D.对，恒成立

三、填空题

13. 难度：中等

抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为______，等于______．

14. 难度：中等

设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为______．

15. 难度：中等

在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为 ,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______。

16. 难度：困难

已知函数，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围__________。

四、解答题

17. 难度：简单

在①，且的虚部是2；②；③，为的共轭复数．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答．

注：选择不同条件，结果可能不同．

已知为虚数单位，复数满足______，设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积．

18. 难度：中等

从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：

（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？

（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？

（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？

（4）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？

19. 难度：中等

为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．

(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．

20. 难度：中等

如图，已知直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，点在直线上运动，且．

(1)证明：无论取何值，总有平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

(1)求椭圆的方程；

(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，的斜率分别为，，若，证明为定值，并求出这个定值．

22. 难度：困难

设函数.

（1）若在点处的切线为，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若，求证：在时，.