2020届湖南省高三上学期期末统测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设，，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

函数的最小正周期为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.，则

7. 难度：简单

若执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知函数，且满足，则（    ）

A.29 B.5 C.3 D.11

9. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且三点共线，则（    ）

A.12 B.10 C.6 D.8

10. 难度：中等

已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（    ）（注：）

A.1624 B.1024 C.1198 D.1560

12. 难度：中等

在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论：

①；

②平面；

③三棱锥的体积的最大值为；

④与一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是（    ）

A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④

二、填空题

13. 难度：简单

已知数列是等比数列，，则__________.

14. 难度：简单

已知向量，的夹角为，则__________.

15. 难度：简单

展开式中常数项为______.

16. 难度：中等

双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为，它们在第一象限的交点为，若，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，分别是角的对边，且.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18. 难度：中等

如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

（1）证明：平面.

（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.

（1）完成下列列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；

	生二孩	不生二孩	合计
头胎为女孩	60
头胎为男孩
合计			200

（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.

附：

	0.15	0.05	0.01	0.001
	2.072	3.841	6.635	10.828

（其中）.

20. 难度：困难

已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.

（1）证明：点恒在椭圆上.

（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

21. 难度：困难

已知函数有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.

（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若函数最小值为，且，求的最小值.