北京市朝阳区2018-2019学年高二第一学期期末质量检测数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是（　　）

A.a+c＞b+d B.a﹣c＞b﹣d C.ac＞bd D.

2. 难度：简单

抛物线的准线方程为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在等比数列{a_n}中，a₁＝1，a₄＝8，则{a_n}的前5项和是（　　）

A.2 B.8 C.15 D.31

4. 难度：简单

正方体中，则异面直线与所成的角是     

A.30° B.45° C.60° D.90°

5. 难度：简单

“m＞0，n＞0，且m≠n”是“方程表示的曲线为椭圆”的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4．则点E到平面ABC的距离为（　　）

A. B. C. D.2

7. 难度：中等

已知数列满足．若是递增数列，则实数的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知F₁，F₂是双曲线C：的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）

A.4+2 B.1 C. D.

9. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，,…，.则等于（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，O为线段AC的中点，点E在线段A₁C₁上，则直线OE与平面A₁BC₁所成角的正弦值的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为_____．

12. 难度：简单

双曲线的渐近线方程为__________.

13. 难度：简单

设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果a₁＝﹣5，a_n+1＝a_n+2，n∈N^*，那么S₁，S₂，S₃，S₄中最小的为_____．

14. 难度：简单

若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为_____．

15. 难度：简单

已知数列{a_n}中，a₁＝1，前n项和（n∈N^*），那么a₂的值为_____，数列{a_n}的通项公式为_____．

16. 难度：中等

已知O是坐标原点，M，N是抛物线y＝x²上不同于O的两点，OM⊥ON，

有下列四个结论：

①|OM|•|ON|≥2；

②；

③直线MN过抛物线y＝x²的焦点；

④O到直线MN的距离小于等于1．

其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）已知PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．

（ⅰ）若点F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，求证：EF∥平面ABCD；

（ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）＝ax²+ax﹣1（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）＞0的解集；

（Ⅱ）对于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．

19. 难度：中等

已知椭圆C：1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l，与椭圆C交于P，Q两点．

（ⅰ）当时，求△OPQ（O为坐标原点）的面积；

（ⅱ）随着α的变化，试猜想|PQ|的取值范围，并证明你的猜想．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为1，若对任意的n∈N^*，数列{a_n}满足a_n+1﹣3a_n＜2，则称数列{a_n}具有性质L．

（Ⅰ）判断下面两个数列是否具有性质L：

①1，3，5，7，9，…；

②1，4，16，64，256，…；

（Ⅱ）若{a_n}是等差数列且具有性质L，其前n项和S_n满足S_n＜2n²+2n（n∈N*），求数列{a_n}的公差d的取值范围；

（Ⅲ）若{a_n}是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设b_n＝a_n（n∈N^*），且数列{b_n}不具有性质L，求数列{a_n}的通项公式．