湖南省长沙市2019-2020学年高二上学期第二次阶段性考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合，，则（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

命题“”的否定为

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为8，则的值为（    ）

A.40 B.50 C.60 D.70

4. 难度：简单

已知，则

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ）

A.3 B. C.2 D.

6. 难度：简单

在明朝程大位的《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首歌谣描述的这个宝塔一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，则塔顶（    ）有盏灯．

A.2 B.3 C.4 D.705

7. 难度：简单

设单位向量，的夹角为，，，则与夹角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知变量满足约束条件，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图在一个60º的二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（    ）

A. B. C.2 D.

10. 难度：中等

已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，，为抛物线在第一象限上的两个动点，且满足，则的最小值为（    ）

A.11 B.12 C.13 D.14

11. 难度：中等

在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，，上面的四棱锥中，，，则过五点、、、、的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，则的最小值为______．

14. 难度：简单

若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从1，2两个数中任取的一个数，则关于的一元二次方程有实根的概率是______．

15. 难度：中等

如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为______．

16. 难度：中等

已知中，，，为内一点，且满足，则______．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值.

18. 难度：困难

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．

（I）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足：…，求{b_n}的前n项和．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，，侧面底面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：困难

已知动圆与轴相切，且与圆：外切；

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若直线过定点，且与轨迹交于、两点，与圆交于、两点，若点到直线的距离为，求的最小值．

21. 难度：困难

已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

22. 难度：困难

2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引过来58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑。某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入；该企业连续6年来得科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：

其中，．

（1）（）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（）根据所建立回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中）？

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．

附：对于一组数据，，……，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．