湖南省长沙市2019-2020学年高二上学期第一次阶段性考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知命题， ，则（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

2. 难度：简单

在中， ， ，则 (    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

等差数列中，，则的值为（    ）

A.12 B.18 C.9 D.20

4. 难度：简单

一枚硬币连续投掷三次，至少出现一次正面向上的概率为(　　)

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本中的中位数、众数、极差分别是（    ）

1	2	5
2	0	2	3	3
3	1	2	4	4	8	9
4	5	5	5	7	7	8	8	9
5	0	0	1	1	4	7	9
6	1	7	8

A.46，45，56 B.46，45，53

C.47，45，56. D.45，47，53

6. 难度：简单

设，，则“或”是“”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

为了得到函数的图象，可以将函数的图象（  ）

A.向右平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向左平移个单位

8. 难度：简单

已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

已知，则角所在的区间可能是（ ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是(  )

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

在约束条件下，则的最小值为______.

14. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，则______.

15. 难度：简单

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这人的月平均收入为__________元．

16. 难度：中等

数列的前n项和为 ，已知，，若数列 为等差数列，则=______．

三、解答题

17. 难度：简单

如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.

（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.

18. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面积为，求的值．

19. 难度：中等

一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：

x	1.08	1.12	1.19	1.28	1.36	1.48	1.59	1.68	1.80	1.87
y	2.25	2.37	2.40	2.55	2.64	2.75	2.92	3.03	3.14	3.26

（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；

②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）

附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.222．

②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-

20. 难度：困难

如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为， ，，，．

（1）求证：平面；

（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．

21. 难度：困难

设数列满足，且，数列满足，已知，其中；

（Ⅰ）当时，求和；

（Ⅱ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．