2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若数列的前项和，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知，，，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

下列函数既是奇函数且又在区间上单调递增的是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若角满足，则（    ）

A. B.或 C. D.或

7. 难度：简单

在边长为的等边中，点满足，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知等差数列满足，，设数列的前项和为，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

椭圆的焦点为，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

如图，三棱锥的体积为，又，，，，且二面角为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹方程为________.

14. 难度：简单

函数在处的切线与直线垂直，则该切线在轴上的截距为_______________.

15. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆相交于，两点，当为直角三角形时，该双曲线的离心率为_______________．

16. 难度：中等

刚上班不久的小明于月日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价元的手机，约定从下月日开始，每月日按等额本息（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款元，年还清；其中月利率为，则小明每月还款数___________元（精确到个位）.（参考数据：；；）

三、解答题

17. 难度：中等

在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，平面，，，且，，分别为棱，，的中点.

（1）证明：直线与共面；并求其所成角的余弦值；

（2）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

19. 难度：中等

已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点斜率为的直线交轨迹于，两点，当时，求.

20. 难度：中等

数列是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列；数列的前项和为，且，.

（1）求，；

（2）若，且数列的前项和为，证明：.

21. 难度：困难

已知函数，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当函数在区间上有且只有个极值点时，求的取值范围.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）求上的点到距离的最小值.

23. 难度：中等

已知，，为正数，且满足.证明：

（1）；

（2）