湖北省武汉市等五校2019-2020学年上学期高二数学期末试卷

一、单选题

1. 难度：简单

命题“,”的否定为（    ）

A., B.,

C., D.,

2. 难度：简单

己知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知随机事件和互斥，且,.则（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

方程，化简的结果是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知两条不同的直线，和一个平面，则使得“”成立的一个必要条件是　（ ）

A.且 B.且

C.且 D.，与所成角相同

6. 难度：简单

已知曲线和直线（、为非零实数），在同一坐标系中，它们的图像可能为（     ）

A.

B.

C.

D.

7. 难度：简单

具有相关关系的两个量、的一组数据如下表，回归方程是，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知椭圆和双曲线的公共焦点为，，为这两条曲线的一个交点，则的值等于（     ）

A.4 B.7 C.3 D.5

9. 难度：简单

甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知抛物线的焦点为和准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（     ）

A. B.6 C.9 D.12

11. 难度：简单

若双曲线的两条渐近线与抛物线交于、、三点（点为坐标原点），且直线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（     ）

A. B. C.3 D.5

12. 难度：中等

已知、为抛物线上两点，直线过焦点，线段的中点为．设、、三点在准线上的射影分别为、、，则

①；

②存在非零实数使得（点为坐标原点）；

③；

④射线平分．

其中说法正确的个数为（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13. 难度：简单

已知，，且，则______．

14. 难度：简单

已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是____________.

15. 难度：简单

已知一组数据：的方差为2，则数据的方差为______．

16. 难度：简单

过抛物线：的焦点作两条斜率之积为的直线，，其中交于、两点，交于，两点，则的最小值为________．

三、解答题

17. 难度：中等

一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．

（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；

（2）过作该圆的切线，求的方程．

18. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体中，、、、分别为、、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与所成角的余弦值．

19. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离为4．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线经过焦点且斜率为1，设直线与抛物线相交于、两点，求线段的长．

20. 难度：简单

武汉市摄影协会准备在2020年1月举办主题为“我们都是追梦人”摄影图片展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

（1）求频率直方图中的值，并根据频率直方图，求这100位摄影者年龄的中位数；

（2）为了展示不同年龄作者眼中的幸福生活，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．

①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：

年龄
人数

②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人中至少有1人的年龄在的概率．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点.

（1）求证；

（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

22. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.