2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则下列判断正确的是（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

设，，则的值为（    ）

A.0 B. C. D.

3. 难度：简单

如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知圆被两直线，分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为4.则圆的方程是（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

函数的部分图象大致为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（    ）

A. B.函数在上递增

C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是

9. 难度：简单

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？

A.选择第一种奖励方案 B.选择第二种奖励方案

C.选择第三种奖励方案 D.选择的奖励方案与其冲关数有关

10. 难度：简单

已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ）

A.4 B.8 C.9 D.12

11. 难度：中等

已知函数有唯一零点，则（    ）

A. B.-2 C. D.2

12. 难度：中等

正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

二、填空题

13. 难度：简单

设，向量，，且，则______.

14. 难度：简单

已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.

15. 难度：简单

已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与双曲线相交于、两点.若，，，则双曲线的实轴长______.

16. 难度：中等

已知数列的通项公式为，其前项和记为，则下列命题正确的是______.

①数列为递减数列；

②对任意正整数，都成立；

③对任意正整数，都成立；

④对任意正整数，都成立.

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数的最小值为-2.

（1）求实数的值；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.

18. 难度：简单

如图，正方体，点，，分别是棱，，的中点，动点在线段上运动.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

19. 难度：简单

党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出户（，）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元.（参考数据：，，，）.

（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；

（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？

20. 难度：中等

已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.

21. 难度：困难

设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）已知与相切，求的值.

23. 难度：中等

已知，，为正数，且满足，证明：

（1）；

（2）.