2019届北京市高三（5月）模拟数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知复数满足(为虚数单位)，则 (　　)

A. B. C. D.

3. 难度：中等

某种最新智能手机市场价为每台元，若一次采购数量达到某数值，还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为（   ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

5. 难度：中等

已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（　　）

A. 2 B.  C.  D.

6. 难度：困难

已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为(     )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（   ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题

9. 难度：中等

设变量、满足约束条件，则目标函数的取值范围为________.

10. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若，，则________.

11. 难度：简单

若角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则________.

12. 难度：中等

己知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则 的取值范围是____．

13. 难度：中等

椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________

14. 难度：困难

已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是________.

三、解答题

15. 难度：中等

已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：.

16. 难度：中等

的内角所对的边分别为,且满足.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.

17. 难度：简单

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝4，BB₁＝2，点E、F、M分别为C₁D₁，A₁D₁，B₁C₁的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．

（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）

（2）在图2中，求证：D₁B⊥平面DEF．

18. 难度：中等

某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；

（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？

（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.

19. 难度：中等

已知函数，其中.

（1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

20. 难度：困难

从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．