上海市2017届高三上学期开学考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则________

2. 难度：简单

设平面向量，，若∥，则________

3. 难度：简单

在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前项和，则________

4. 难度：简单

的展开式中有理项且系数为正数的项有________项

5. 难度：简单

从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.

6. 难度：中等

双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是________

7. 难度：中等

已知复数是纯虚数，（为虚数单位)，则__________.

8. 难度：简单

函数，的反函数________

9. 难度：简单

在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为___________．

10. 难度：中等

在直角△ABC中，A=90°，AB=AC=2，点D为AC的中点，点E满足，则=_____．

11. 难度：中等

若函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是        ．

12. 难度：困难

已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是________

13. 难度：中等

已知三棱锥中，、、两两垂直且长度均为10，定长为（）的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），线段的中点的轨迹的面积为，则的值等于________

14. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．

二、单选题

15. 难度：简单

设为向量，则“”是“” （  ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

已知函数（，）的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象（  ）

A.关于直线对称 B.关于直线对称

C.关于点对称 D.关于点对称

17. 难度：中等

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（    ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为（），若从平行移动到，则的图象大致是（   ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

已知集合，，；

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的取值范围；

20. 难度：中等

如图，在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为棱、的中点，；

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求点到平面的距离；

21. 难度：中等

已知锐角△中内角、、所对边的边长分别为、、，满足，且；

（1）求角的值；

（2）设函数（），且图像上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围；

22. 难度：中等

正项数列的前项和满足；

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有；

23. 难度：中等

已知动点到定点的距离之和为4.

（1）求动点的轨迹方程

（2）若轨迹与直线交于两点，且求的值.

（3）若点与点在轨迹上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值.

24. 难度：中等

已知是偶函数.

(1)求的值；

(2)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点；

(3)设若函数的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.