2020届山东省高三上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）.

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（      ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

函数的图象大致为(   )

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的（ ）

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6. 难度：中等

双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（  ）．

A.2 B. C.4 D.

7. 难度：简单

根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知函数，当时，方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）

A. B.

C.  D.

二、多选题

10. 难度：中等

已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ）.

A.函数的最小正周期是

B.函数在区间上是减函数

C.函数的图象关于点对称

D.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.

11. 难度：中等

已知，为坐标原点，点是圆外一点，过点作直线，直线的方程是，则下列结论正确的是（    ）.

A. B. C.与圆相离 D.与圆相交

12. 难度：中等

将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（    ）.

A. B. C. D.18

三、填空题

13. 难度：简单

已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．

14. 难度：简单

随机变量服从正态分布：，若，则____．

15. 难度：中等

已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________．

16. 难度：中等

已知向量，向量满足，则的最小值为______，最大值为______.

四、解答题

17. 难度：简单

在中，内角、、的对边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的值．

18. 难度：中等

在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．

19. 难度：困难

红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）

平均温度	21	23	25	27	29	32	35
平均产卵数/个	7	11	21	24	66	115	325
27.429	81.286	3.612	40.182	147.714

（1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.

①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.

②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

附：线性回归方程系数公式.

20. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，对任意的恒成立，求实数的最大值.

21. 难度：困难

设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.

22. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.

（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；

（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.