2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知函数，则的值为（    ）

A.1 B. C.2 D.

4. 难度：简单

如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（    ）

A. B. C.4 D.8

5. 难度：简单

函数图象的一条对称轴方程是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知向量，满足，，，则，的夹角为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

若在如图所示的程序框图中输入，则输出的的值是（    ）

A.3 B.4

C.5 D.6

8. 难度：中等

下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为；③图象经过第四象限”的是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

已知数列满足，且，则的值为（    ）

A. B. C.3 D.10

10. 难度：困难

已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为（    ）

A.4 B.6 C.8 D.10

11. 难度：困难

已知函数是定义在上的增函数，且其图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知三棱锥外接球的表面积为，，，直线与平面所成角为，则等于（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程是______.

14. 难度：简单

已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.

15. 难度：中等

已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于______.

16. 难度：困难

已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为______.

三、解答题

17. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图1，在四边形中，，，为中点，将沿折到的位置，连结，，如图2.

（1）求证：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小.

19. 难度：中等

某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为，，，已知，且（单位：）.

（1）若，求的周长；

（2）根据某客户需求，的面积至少为.请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.

20. 难度：困难

已知是圆：上的动点，设在轴上的射影为，动点满足，的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）圆及曲线与轴的四个交点，自上而下记为，，，，直线，与轴分别交于，（为相异两点），直线与的另一个交点为，求证：，，三点共线.

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）证明：在区间上单调递增；

（2）若存在，使得与在的值域相同，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程;

（2）求被截得的线段长.

23. 难度：中等

已知正数，，满足.

（1）证明：；

（2）若，求的最大值.