福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知直线的倾斜角为，则的斜率为(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知为虚数单位，则复数= （）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

计算(    )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

以为圆心且过原点的圆的方程为(    )

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

双曲线的渐近线方程为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：中等

函数的图象大致是(    )

A. B.

C. D.

7. 难度：困难

若，且，则下列不等式一定成立的是(    )

A. B. C. D.

8. 难度：困难

已知直线：与圆：有交点，若的最大值和最小值分别是，则的值为(    )

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：中等

已知方程，则(    )

A.当时，方程表示椭圆 B.当时，方程表示双曲线

C.当时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线

10. 难度：中等

如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则(    )

A.点的坐标为

B.点关于点对称的点为

C.点关于直线对称的点为

D.点关于平面对称的点为

11. 难度：中等

下列说法正确的是(    )

A.命题“若且，则”为真命题

B.“若直线与直线平行，则”的逆命题是真命题

C.若：，使得，则：，使得

D.“”是“”的充要条件

12. 难度：困难

已知函数，则以下结论正确的是(    )

A.在上单调递增 B.

C.方程有实数解 D.存在实数，使得方程有个实数解

三、填空题

13. 难度：简单

已知直线：，则过点且垂直于的直线方程为__________.

14. 难度：中等

为迎接年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为，“乙得第一名”为，“丙得第一名”为，若是真命题，是真命题，则得第一名的是__________.

15. 难度：中等

已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________；曲线在点处的切线方程为__________.

16. 难度：困难

设过原点的直线与双曲线：交于两个不同点，为的一个焦点，若，，则双曲线的离心率为__________.

四、解答题

17. 难度：中等

已知是虚数单位，复数.

(1)求复数的模；

(2)若（，是的共轭复数），求和的值.

18. 难度：中等

已知函数且.

(1)求实数的值；

(2)当时，求的值域.

19. 难度：困难

已知动点在轴的右侧，且点到轴的距离比它到点的距离小.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设斜率为且不过点的直线交于两点，直线的斜率分别为，求的值.

20. 难度：中等

已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

21. 难度：困难

阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.

22. 难度：困难

已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有极值点，有两个零点，且恒成立，求实数的取值范围.