河北省衡水市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

某工厂10名工人某天生产同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的众数为（    ）

A.17 B.16 C.15 D.14.7

2. 难度：简单

已知，则p是q的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（    ）

A.2人 B.3人 C.5人 D.4人

4. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线垂直于直线，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B.2 C.5 D.

5. 难度：简单

六名同学站一排照相，要求，，，三人按从左到右的顺序站，可以不相邻，也可以相邻，则不同的排法共有（   ）

A.720种 B.360种

C.120种 D.90种

6. 难度：中等

在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AD与BC的位置关系是（    ）

A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判定

7. 难度：中等

的展开式中二项式系数之和是64，含项的系数为，含项系数为，则（   ）

A.200 B.400

C.-200 D.-400

8. 难度：中等

我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（   ）

A.30 B.60

C.90 D.120

9. 难度：中等

一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球，其中有n个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于，则n的值共有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10. 难度：中等

已知双曲线的左，右焦点分别为，，半焦距为c.若双曲线上存在点A使得，且，则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

如图，在正方体中，，E，F分别为AD，DC的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则（    ）

A.4 B.2 C. D.3

二、填空题

13. 难度：简单

从区间内任选一个数，则方程表示的是双曲线的概率为__________．

14. 难度：中等

已知，则____．

15. 难度：中等

已知P是椭圆上的一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂＝60°，则△F₁PF₂的面积是______．

16. 难度：中等

如图，已知过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，且，则直线l的斜率为________.

三、解答题

17. 难度：简单

微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：

步数 性别	0~3000	3001~6000	6001~9000	9001~12000	>12000
男	1	1	3	15	5
女	0	4	11	8	2

若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”。

（1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率；

（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

	积极型	懈怠型	总计
男
女
总计

附：，其中.

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

18. 难度：中等

已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，，且（为坐标原点）.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值.

19. 难度：中等

某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

（2）已知该厂现有名维修工人．

（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？

20. 难度：中等

2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作.例如：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若，则，，.

21. 难度：中等

如图，四边形ABCD为正方形，，且，平面BCE.

（1）证明：平面平面BDFE；

（2）求二面角的余弦值.

22. 难度：中等

已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.