2020届北京市高三第一学期（12月）月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合， ，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设等差数列的前n项的和为，且，则(    )

A.8 B.12 C.16 D.20

3. 难度：简单

若，则有(    )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

5. 难度：简单

已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（   ）

A. B.

C.或 D.或

6. 难度：中等

“”是“函数为奇函数”的(    )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

函数（）的图象大致形状是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

学生序号
立定跳远（单位：米）
30秒跳绳（单位：次）

在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

A.号学生进入秒跳绳决赛

B.号学生进入秒跳绳决赛

C.号学生进入秒跳绳决赛

D.号学生进入秒跳绳决赛

二、填空题

9. 难度：简单

直线被圆截得的弦长为________.

10. 难度：简单

函数f(x)=sin²2x的最小正周期是__________．

11. 难度：中等

在△ABC中，，a=c，则=_________.

12. 难度：中等

已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.

13. 难度：中等

如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________.

14. 难度：简单

已知四点共面，，，，则的最大值为______．

三、解答题

15. 难度：中等

已知数列，满足且.

(1)求证是单增数列；

(2)求数列的前n项和.

16. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若在区间上的最小值为，求m的最大值.

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.

(1)证明：平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18. 难度：困难

已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.

19. 难度：中等

已知函数，其中为常数.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若函数在存在极小值，求a的取值范围.

20. 难度：困难

已知是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，记．

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）证明：“数列单调递增”是“”的充要条件；

（3）若对任意恒成立，证明：数列的通项公式为．