2020届湖南省长沙市高三上学期第三次月考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是（ ）

A.A⊆B

B.A∩B＝{2}

C.A∪B＝{1，2，3，4，5}

D.A∩（）＝{1}

2. 难度：简单

已知复数z，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

实数数列为等比数列，则（   ）

A.-2 B.2 C. D.

4. 难度：简单

下图是证明勾股定理的一种方法所构造的图形，分别以直角三角形的三条边长构造正方形.若直角三角形中较小的锐角，则在该图形区域内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

下列各函数中，最小值为2的是（   ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

已知cosα＝－，且α∈（，π），则tan（－α）＝（ ）

A.－ B.－7 C. D.7

7. 难度：简单

已知双曲线的离心率为2，则该双曲线左焦点到渐近线的距离为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图所示，直线PA垂直于所在的平面，内接于，且AB为的直径，点M为线段PB的中点，点Q是线段PC上异于端点的动点.现有结论：①；②平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长；④异面直线BC与AQ所成的角为定值.其中正确的是（    ）

A.①② B.①②③④ C.① D.②③

9. 难度：简单

如图，为圆的一条弦，且，则  

A.4 B.-4 C.8 D.-8

10. 难度：中等

已知点，是抛物线上的动点，点在直线上的射影为，则的最小值是（    ）

A.6 B.5 C.4 D.3

11. 难度：中等

    将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质(　　)

A.最大值为1，图象关于直线x＝对称

B.在上单调递增，为奇函数

C.在上单调递增，为偶函数

D.周期为π，图象关于点对称

12. 难度：困难

已知是方程的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知点和在直线的两侧，则实数a的取值范围为________.

14. 难度：简单

已知，取值如表：

画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．

15. 难度：中等

已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则________.

16. 难度：困难

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积取最小值时，________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

（1）求证：平面PQB；

（2）在线段PC上是否存在点M，使平面MDB？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

18. 难度：中等

已知正项数列的前n项和为，且，，成等差数列．

证明数列是等比数列；

若，求数列的前n项和．

19. 难度：中等

如图，多面体中，矩形底面，，且，，为等边三角形，.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为求三棱锥的体积.

20. 难度：困难

已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且椭圆C的长轴是圆的一条直径.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求的取值范围.

21. 难度：困难

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若对任意实数，，使，求实数a的取值范围.