2020届广东省汕头市高三上学期期中数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，则等于（  ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则(   )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

下列说法正确的是（    ）

A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B.已知是R上的可导函数，则“”是“x₀是函数的极值点”的必要不充分条件

C.命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”

D.命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

已知函数，则（   ）

A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为

C. 的最小值为 D. 的图象关于点对称

5. 难度：中等

一物体在力F(x)＝3x²－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是(　　)．

A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J

6. 难度：中等

如果是二次函数，且的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（    ）

A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

8. 难度：中等

已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A.与的定义域都是

B.为奇函数，为偶函数

C.的值域为，的值域为

D.与都不是周期函数

9. 难度：困难

设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）

A. B.2 C. D.4

10. 难度：中等

如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（  ）

A.，是的极大值点

B.，是的极小值点

C.，不是的极值点

D.，是是的极值点

11. 难度：困难

已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（    ）

A.0 B. C. D.

12. 难度：中等

设为常数，函数，给出以下结论：

（1）若，则存在唯一零点

（2）若，则

（3）若有两个极值点，则

其中正确结论的个数是（   ）

A.3 B.2 C.1 D.0

二、填空题

13. 难度：中等

已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.

14. 难度：简单

如图，在直角三角形中，，，，垂足为，则 的值为_____

15. 难度：简单

已知角的始边是轴非负半轴．其终边经过点，则的值为__________．

16. 难度：中等

下列是有关的几个命题，

①若，则是锐角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是等腰三角形；④若 ，则是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角中,角所对的边为

若, ,且.

(1)求角的值；

(2)求的取值范围.

18. 难度：简单

已知数列的前项和（其中），且的最大值为8.

（1）确定常数，并求；

（2）设数列的前项和为，求证：.

19. 难度：中等

已知直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角余弦值的大小.

20. 难度：中等

已知点到直线的距离比点到点的距离多.

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数，（为自然对数的底）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在均属于区间的，，且，使，证明：；

（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的分界线．试探究当时，函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的焦点的极坐标；

（2）若曲线的上焦点为，直线与曲线交于，两点，，求直线的斜率．

23. 难度：中等

已知函数，且的解集为．

（1）求的值；

（2）若是正实数，且，求证：.