河南省开封市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

函数的定义域为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

以下利用斜二测画法得到的结论，其中正确的是（    ）

A.相等的角在直观图中仍相等 B.相等的线段在直观图中仍相等

C.平行四边形的直观图是平行四边形 D.菱形的直观图是菱形

5. 难度：中等

下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知直线，，若，则与间的距离为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

下列条件中，能判断平面与平面平行的是（    ）

A.内有无穷多条直线都与平行 B.与同时平行于同一条直线

C.与同时要直于同一条直线 D.与同时垂直于同一个平面

8. 难度：简单

已知函数，则（    ）

A.在区间内均有零点 B.在区间内均无零点

C.在区间内无零点，在区间内有零点 D.在区间内有零点，在区间内无零点

9. 难度：简单

《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则所剩余料的体积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数若，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

函数的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

12. 难度：中等

正方体的棱长为1，分别为的中点.有下述四个结论：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③平面截正方体所得的截面面积为；④直线与直线所成角的正切值为；其中所有正确结论的编号是（    ）

A.②③ B.②④ C.①③ D.③④

二、填空题

13. 难度：简单

已知直线的倾斜角为45°，且经过点，则的值为______.

14. 难度：简单

若为奇函数，则_______.

15. 难度：简单

在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________.

16. 难度：中等

把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60℃的物体，放在20℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50℃，则______.（精确到0.01）（参考数据：）

17. 难度：中等

如图，在正方体中，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.（只需在下面横线上填写给出的如下结论的序号：①平面，②平面，③，④，⑤）

证明：（1）设，连接.因为底面是正方形，所以为的中点，又是的中点，所以_________.因为平面，____________，所以平面.

（2）因为平面平面，所以___________，因为底面是正方形，所以_______，又因为平面平面，所以_________.又平面，所以平面平面.

三、解答题

18. 难度：中等

求下列各式的值.

（1）；

（2）.

19. 难度：简单

三角形的三个顶点是.

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

20. 难度：中等

某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.

（1）若两个合作社的投入相等，求总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?

21. 难度：中等

如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点.

（1）与所成的角是否为定值，试说明理由；

（2）若二面角为60°，求四面体的体积.

22. 难度：困难

对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”.

（1）若是“型函数”，且，求满足条件的实数对；

（2）已知函数.函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的值.