2020届广西柳州高级中学高三下学期开学考试数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A.∅ B. C. D.

2. 难度：简单

设（i为虚数单位），其中x，y是实数，则等于（    ）

A.5 B. C. D.2

3. 难度：简单

平面向量与的夹角为，，，则 (     )

A. B. C.0 D.2

4. 难度：简单

不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（    ）

A.6 B.8 C.9 D.10

6. 难度：简单

已知函数的最小正周期为，将其图像向右平移个单位后得函数的图像，则的值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

等比数列的前项和为，公比为，若，，则（  ）

A. B.2 C. D.3

8. 难度：中等

已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（    ）

A. B.0 C.1 D.2

9. 难度：中等

在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.0 B. C. D.

10. 难度：简单

双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆的公共点的个数为（    ）

A.1 B.2 C.4 D.0

11. 难度：中等

关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，则函数的最小值为_______.

14. 难度：简单

设函数，则_____

15. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，，则的公差为______.

16. 难度：中等

已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.

三、解答题

17. 难度：简单

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求角A；

（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．

18. 难度：中等

在四棱锥中，平面ABCD，是正三角形，AC与BD的交点为M，又，，点N是CD中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）求点M到平面PBC的距离．

19. 难度：简单

某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：

车型	A型	B型	C型
频数	20	40	40

假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．

（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；

（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：

	优秀	合格	合计
男司机	10	38	48
女司机	25	27	52
合计	35	65	100

问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．

（参考公式：）

附表：

	0.100	0.050	0.010	0.001
K	2.706	3.841	6.635	10.828

20. 难度：中等

已知函数y＝f（x）＝。

（1）求y＝f（x）的最大值；

（2）设实数a>0，求函数F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。

21. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与相交于､两点，求的面积.

23. 难度：中等

已知．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若时，不等式恒成立，求a的取值范围．